他生于128年前,他留下的神秘笔记本我们至今仍未全部理解




作者:桥东里
链接:http://zhuanlan.zhihu.com/p/20512381
来源:知乎
问:如果穿越回古代,你要做什么?
在知乎见过有人回答,最好是像拉马努金那样,事先背好几百个没有证明过程只有结果的数学公式,穿越后赶紧默写出来,不做任何解释,反正你也没这能力,马上自杀。这样你留下的知识可以供那时候的人研究几百年,他们会奉你为先知,称你是超越时代的人。
这是一个好点子。
如果历史上有过这样的穿越者,拉马努金确实有很大的嫌疑。


【拉马努金是印度人民的骄傲。】
1887年12月22日,他出生在印度南部的乡村。
从上学的第一天起,他的数学成绩就高得离谱。老师说他应该得到比满分还高的分数才对。
1903年,在中学毕业之前,拉马努金得到了一本影响他一生的书。《纯粹数学与应用数学基本结果汇编》。
书里列举了大约5000个(!)数学方程,一个接一个,有的是定理,有的是公式,有的是几何图形,内容包括代数、三角、微积分、解析几何、微分方程,十九世纪的人们所了解的数学知识差不多都在里面了。
书的作者是一个叫卡尔的平庸数学家。这两卷《汇编》是卡尔当私教的讲稿汇总,你可以看做『黄冈小状元』那样的题型大全。
这本书有一个特点:只给结论,不给过程。证明的细节?不好意思,全部欠奉。所以每一个定理就是一个研究课题,是一个等待你解开的谜,要你一步步找出答案。
这种方式歪打正着地激发了拉马努金的潜能。他就像欧阳锋逆练《九阴真经》一样练出了绝世神功。
他以为学数学就应该这样。他沉迷于发明一个又一个数学公式,只有公式,对他才是有吸引力的。
但他走得更远。他本来是要证明卡尔书中的定理,后来就把这位导师抛在后面了。他找到了新的定理,走到了谁都没有去过的地方。
他把想到的东西都胡乱记在他的数学笔记里。他不会想到,日后会有一批数学家专门以研究他的数学笔记为业。


【这是拉马努金的笔迹。如果你看得懂,请联系我,我输给你一百块。】
为什么需要专门的人来研究呢?因为不研究看不懂啊。他根本不知道按照通行的规矩使用数学符号。
举个例子,大家都用π来表示圆周率,可他偏偏就用来表示连续变量(我也不知道这是什么东西),专业数学家从来没有这样用过,可他就没混过数学圈啊,他都是自学,怎么知道?
还有,你看数学家写的书一般很少有具体的数字,都是字母和符号。因为在这些地方数学家做的都是一般化的抽象处理。
但拉马努金都会一一填进数字。所以看起来就不太像数学论文啦,像四年级小学生的课外作业。
还有,他不喜欢证明。他喜欢在仿佛毫无关联的数字之间找到联系,但他自己不想为证明操心。即使他提供了证明,那也是非常简略而且不完整的。
但神奇的是,他大多数时候是对的。这可能是一种极其稀有的直觉。


【那个年代的印度人一般都很瘦,拉马努金却是一个特例。】
整整五年,他独立研究数学。没有人指导,也没有人鼓励。每个月就赚几个卢比。后来,他开始找工作,唯一用来自我引荐的介绍信,就是他的数学笔记。
从1911年开始,拉马努金争取到了机会,来到大城市马德拉斯生活,每个月领25卢比,专心研究他的奇怪的数学。他还发表论文了,开始登上印度乃至世界的数学舞台。
至于他的研究成果,没什么人看得懂。好几个数学家隐约觉得里面有名堂,一些公式很有意思,但要让他们来评判拉马努金的工作,那就超出他们的能力范围了。他们说:
『如果他的天赋真的神秘得无法捉摸,连常识丰富的数学家都无法辨别的话,我便怀疑其天赋是否是真的。』
『他是不是真材实料的数学家,我不能确定。他给我的印象是一位有脑筋的人。他的脑筋似乎和速算神童的脑筋相似。』
许多人对拉马努金说,印度没有人能了解他,也不能给予他指导,所以他应该写信到英国的剑桥大学寻求帮助。于是他开始写信。起初的几个收信者要么没回音,要么说爱莫能助。
1913年1月16日,拉马努金给35岁的英国数学家哈代写信。
这是数学史上最动人的相遇。
哈代长得很帅,但自己不觉得,连镜子都不愿意照,要用毛巾遮起来。


【哈代帅照第一发。】


【哈代帅照第二发。谁说老了就不帅?不过他痛苦地承认,老了的数学家『已不再拥有新鲜的智慧或充沛的精力来有效地从事自己的专业』。】
他是狂热到病态的板球迷。他给数学证明最高的评语是『属于霍布斯级别的』,人家都以为他说的是哲学家托马斯-霍布斯(写《利维坦》那个),其实他说的是板球运动员杰克-霍布斯。
他应该是个gay。更有可能终身过着无性的生活。
他老去的时候写了一篇《一个数学家的辩白》,可能是数学家写过的最优美的散文。
更重要的是,他是一个伟大的数学家。当时他就是当之无愧的英国头号数学家。他从拉马努金寄来的信中看到了别人看不到的东西。
尊敬的先生:
谨自我介绍如下:我是马德拉斯港务信托处的一个职员,年薪仅20英镑,23岁。我未受过大学教育,但已学完通常的中学课程,离开学校后,我仍以闲暇时间攻读数学。我未能按常规按部就班地学习正规的大学课程,但我在开辟我自己的道路。我对一般的发散级数做了专门的研究,本地的数学家们说,我所得到的结果是『令人惊奇的』。
信的末尾写道:
我谨求您读完所附的论文。因为我很贫困,如果这论文多少还有一点价值的话,请您发表我的这些定理。我没有写出全部的研究,也没有给出我所得到的表达式,但我已经指出了我前进的路线。因为我毫无经验,您给我的任何指教,我都将极为珍视。有劳之处,尚祈见谅。
您真诚的
S-拉马努金
后面就是一共有9页的论文。里面一共有大约50个定理。
连哈代都看不明白,他说『我连稍微有点像它的任何东西都从未见过』。他叫来另一个数学家、多年的合作伙伴李特尔伍德一起研究。
两个天才经过三小时深入的探查,得出的结论是:
只需看一下它们,就知道它们只能是出自最高级的数学家之手。
它们一定是正确的。如果不正确,谁也不会有这样高的想象力去想出它们。
哈代给拉马努金回信了。他肯定了拉马努金工作的价值,但他也强调了『证明』的重要性。
然而您应该理解,我必须看到您对某些结论的证明,才能适当地判断您所做的工作的价值。
我特别希望看到您在此的断言之证明。您需要理解,在这个理论中,一切全都依赖于证明的严格精确性。
想必您已做了大量值得发表的工作;若您肯示以满意的证明,我将欣然为其发表而效力。
给我一个证明!证明!证明!
面对大数学家的来信,拉马努金表现得仍然很骄傲:
如果我在一封信里告诉您我的前进路线,您是无法跟上我的证法的。您可能会问,您怎能接受错误前提下的结论呢?我想告诉您的就是:检验我给您的结果,如果它与您沿着今日数学家们所走的旧车辙得到的结果一致,您至少会承认,在我的基本准则中还有一些真理。
接着,他又在信中堆积了更多的定理,总共是9张纸……
情商堪忧啊。不过要说地球上哪个群体最不看重情商,我估计就是数学家了。哈代就说过:『谦卑的人是做不出好工作的。』
终于,到1914年,拉马努金在哈代的帮助下来到剑桥。他不是去上学的,是去和哈代、李特尔伍德一起工作的。


【中间那个矮胖的印度人就是拉马努金。最右边那个潇洒的帅哥就是哈代。】
那几年,哈代和李特尔伍德最重要的工作就是和拉马努金研究他的那些公式和定理。他们发现,拉马努金有些结果是错误的,有些没他自己想象的那么深刻,有些是西方数学家几十年前、甚至一两百年前就找到了的,拉马努金只是『重新发现』了它们。
但是有1/3、甚至2/3的结果,是令人惊心动魄的。那是好几千个定理和公式,一两行之内就压缩了极其丰富的数学真理。
举个例子。读到拉马努金的数学笔记九年后,哈代写了一篇论文,专门讨论拉马努金第一个笔记本的其中两章,他说『迄今为止,仅仅对于这两章,我才能做出真正探索性的分析』。
还有,一个匈牙利数学家问哈代借了一本拉马努金的笔记本读,几天后他疯了一样硬是把它退还给哈代。他说,只要被拉马努金的魔网扣住,他会倾毕生之力来证明这些定理,再也不会去发现属于他自己的东西了。


【就是这个笔记本。现在它属于马德拉斯大学图书馆。】
拉马努金是天才。无论天才这个词的含义是什么,这点都是毫无疑问的。但这不代表他不需要付出艰苦的努力。
在马德拉斯的时候,有个朋友来看望他,说:『拉马努金,人家都叫你天才。』
他回答:『你看我的手臂,它可以说明一切。』他的手肘又脏又黑又粗糙,因为他在石板上计算,用手臂来当黑板擦。
朋友问他为什么不用纸。他说买不起,他用纸多,一个月要用几百张。
他去世之后半个世纪,有一家纸厂赞助出版了纪念他的书,广告语是『使人永垂不朽的纸』和『有了好纸,人类的伟大思想就可以永远保存流传』。再贴切不过了。
不过他也有他的局限性。他无与伦比的直觉在某种意义上反而束缚了他,这让他不想去了解现代的数学工具。哈代说,『他知识的局限性和它的深奥性同样令人吃惊』。
这里有这样一个人,他能解出模方程与复杂的乘法定理,其阶数之高闻所未闻,他对连分数的掌握,至少在其形式方面超过世界上一切数学家。他能自己找出ζ函数的函数方程,能求出解析数论中许多最著名的函数的主要项,但是他从未听说过双周期函数,甚至柯西定理。他对于什么是一个数学证明只能做出最含混的说明。他的所有结果,不管是新的或是老的,对的或是错的,都是用这样一种方法得出来的:杂七杂八的论证,直觉和归纳;他完全不能给出一个连贯的论述。
还是那句话:证明,给我看他妈的证明!
所以,遇上哈代,真是拉马努金的好运。哈代严格地要求他,也小心翼翼地呵护他的创造性。
哈代后来设计了一种关于天生的数学才能的非正式评分表,他给自己打了25分,给李特尔伍德打了30分,给希尔伯特打了80分——提出23个最重要的数学问题(它们被称为『希尔伯特问题』)的希尔伯特!
他给拉马努金打了100分。
这是直觉的化身与严格性的使徒的完美结合。
他们合作发表了28篇论文。
但这不是一个有美好结局的故事。
拉马努金在1919年回到印度。他受不了英国那潮湿阴冷的天气,也不会照顾自己。一个印度小老乡去他的英国寓所做客,问他床铺够不够暖。他说不够,晚上他都得穿着大衣裹着围巾睡觉。老乡惊讶地去看他的床铺,发现床上的毯子动都没动,整整齐齐地平铺着。
原来拉马努金不知道睡觉时应该把毯子拉开让身体钻进去……
回到家乡第二年,1920年4月16日,拉马努金就死于肺结核,年仅33岁。


【坐落于贡伯戈纳姆的拉马努金故居,现在是他的纪念馆。】
关于他的成就,我引用发表于《南方周末》的一篇文章吧:
他所预见的数学命题,日后有许多得到了证实。如比利时数学家德利涅(V. Deligne)于1973年证明了拉马努金1916年提出的一个猜想,并因此获得了1978年的菲尔兹奖。
除了在纯粹数学方面做出卓越的成就以外,拉马努金的理论还得到了广泛的应用。他发现的好几个定理在包括粒子物理、统计力学、计算机科学、密码技术和空间技术等不同领域起着相当重要的作用,甚至晶体和塑料的研制也受到他创立的整数分拆理论的启发,而他在黎曼ζ函数方面的研究成果,现在已经与齿轮技术的进步挂上了钩,还被用于测温学及冶金高炉的优化。他生命中的最后一项成果——模仿θ函数有力地推动了用孤立波理论来研究癌细胞的恶化和扩散以及海啸的运动;最近有专家认为,这一函数很可能被用来解释宇宙黑洞的部分奥秘,而令人吃惊的是,当拉马努金首次提出这种函数的时候,人们还不知道黑洞是什么。
和我上面写的一样,《南方周末》的文章资料基本来自《知无涯者:拉马努金传》。

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